進捗(11/12~11/18)ローレンツ力とベクトルの積

基礎知識(その他の分野)

『11/18~11/22:家族旅行』の準備のため、いつもより勉強時間は少なくなった。そんなに行きたい旅行でもないけれど、家庭内平和のためには、まぁ仕方ない。ちなみに11/23~11/24は遠方から遊びに来る親族の接待があるので、一週間ブログはお休み。

ローレンツ力とベクトルの積

ローレンツ力

先日より続けている電磁気学の勉強の進捗は、やっと第5章『電流』を終えて、第6章『電流と磁場』に入ったところである。電流と磁場の関係といえば、すぐに出てくるのがローレンツ力だ。

ローレンツ力

磁場中を運動する荷電粒子に作用する力。粒子の電荷をe、速度を、磁束密度をB、真空中の光速度をcとして、
$$\frac{e}{c}v×B$$

で表される。MKSA単位系では、1/cを除いた式になる。速度ベクトルに垂直に作用し、軌道を曲げるが仕事をしない。(岩波理化学辞典 第3版増補版より)

この説明や、現在使用中のテキストを読んでも、結局のところ、いったい何なのかよく分からなかった。しかし、本説明の最後の一文『速度ベクトルに垂直に作用し、軌道を曲げるが仕事をしない』より、外積とrotが関係していそうなことは分かるので、今更ではあるけれど勉強し直してみた。

ベクトルの積

 

物理のかぎしっぽ『div, grad, rot』『フーリエの冒険』その他もろもろを参考にして考えると、おそらく

  • 内積

角度θを成す2つのベクトルAとBがあるとき、ベクトルBのベクトルAに対する射影(|B|cosθ)は、ベクトルBがベクトルAにどれくらい似ているか、ベクトルBにベクトルAの成分がどれくらい入っているか、を示す。フーリエ展開で、各項の係数を計算する方法と通じるところがある。

  • 外積

ベクトルAとベクトルBの向きが同じなら零になり(sin0 = 0)、直交するときに大きさが最大になる(sin90 = 1)ことより、ベクトルAとベクトルBがどれくらい違っているか、を示す。ベクトルAとベクトルBが成す平面に垂直で、大きさが|A||B|sinθで表されるベクトルである。

としてよい。

外積

(ここからの説明はおもに『div, grad,rot』による)

三次元の直交座標系\((x, y, z)\)で、単位ベクトルを\((i, j, k)\)とおく。

また、ベクトルAとBをそれぞれ

\[
\vec{A} = A_x\vec{i} + A_y\vec{j}+A_z\vec{k}
\]

\[
\vec{B} = B_x\vec{i} + B_y\vec{j}+B_z\vec{k}
\]

とする(ベクトルBは非表示)。

\[
\vec{A} \times \vec{B}
=A_xB_x(\vec{i}\times\vec{i}) +  A_yB_y(\vec{j}\times\vec{j}) + A_zB_z(\vec{k}\times\vec{k}) \\
+ A_xB_y(\vec{i}\times\vec{j}) + A_yB_x(\vec{j}\times\vec{i}) \\
+ A_xB_z(\vec{i}\times\vec{k})+ A_zB_x(\vec{k}\times\vec{i}) \\
+ A_yB_z(\vec{j}\times\vec{k})+ A_zB_y(\vec{k}\times\vec{j})
\]

θ = 0のとき、sinθ = 0なのだから、\(\vec{i}\times\vec{i} = \vec{j}\times\vec{j} = \vec{k}\times\vec{k} = 0\)
また、図と定義より明らかに、
\[
\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}
\] \[
\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}
\] \[
\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}
\]

よって、
\[
\vec{A} \times \vec{B} = (A_yB_z – A_zB_y)\vec{i} \\
+ (A_zB_x – A_xB_z)\vec{j} \\
+ (A_xB_y – A_yB_x)\vec{k}
\]

今回、数式の形で整理したが、これを行列式の形で表すともっとラクだし、わかりやすい。対角成分が内積で、その他が外積なのだ。物理のかぎしっぽ参照のこと。

 


以上の外積の復習と\(rot = \bigtriangledown \times \vec{A}\)の定義より、電流と磁場の関係(ローレンツ力、ビオ・サバールの法則)についてイメージが湧いた気がする。もう少し書こうと思っていたけれど、LaTeXの扱いに慣れていないこともあって、疲れてきたから今日はここまで。。。とりあえず、内積と外積がスッキリしたのは大きな前進だ。残りはまたそのうち、機会があれば書こう。