統計 正規分布に関連する分布の略メモ

ほかの技術知識

t検定・分散分析・回帰分析など代表的な分析手法では、正規分布から導かれる(連続型)分布の性質が利用されている。密度関数を書くのはメンドウなのでそこは省略して、性質だけメモ。

Xが正規分布に従う時、

  • χ2はカイ2乗分布に従う。
  • σを推定量で置き換えたt分布は正規分布よりも裾が重い分布になる。
  • t分布に従うXのχ2はF分布に従う

カイ2乗分布 Χ2(n)

  • 正規分布に従う確率変数の2乗和の分布に関係する
  • 平均:n
  • 分散:2n
  • X~χ2(n),Y~χ2(m)であり、XとYが互いに独立であるならば、X+Y~χ2(n+m)
  • X1,・・・Xnが独立にN(μ,σ2)に従う時
カイ2乗分布の性質

t分布 t(n)

  • 標準正規分布と同様に平均が0でそのまわりに左右対称に分布する。
  • 平均:0
  • 分散:n/(n – 2), n > 2
  • N(0,1)よりも裾が重い分布
  • X ~N(0,1), Y~χ2(n), XとYが互いに独立ならば

F分布 F(m,n)

  • XがX~t(n)に従う時の、X2の分布
  • 平均:n /(n – 2)  ,n > 2
  • 分散:2n2(m + n – 2)/m(n-2)2(n-4) ,n > 4
  • X~X2(m), Y~X2(n)であり、XとYが互いに独立であれば